方法精讲数资阶段梳理之数量关系

代入排除

范围:

  • 典型题:多位数、年龄、不定方程、余数(出现剩、余、缺,为余数问题,如除 7 余 3,代表缺 4)。
  • 看选项:选项为一组数、可转化为一组数。
  • 剩两项:只剩两项时,代一项即得答案。计算复杂时,可以代入。

方法:

  • 优先排除:尾数、奇偶、倍数。
  • 直接代入:最值、好算。

倍数特性法

本身是方程法的一种,列出分式的形式,根据选项快速做题。

整除型

若 A=B*C,则 A 能被 B 或 C 整除。前提:B、C 均为整数。

判定:

  • 口诀:3/9/5/4 是重点。
  • 因式分解:45=5_9≠3_15,分解时必须互质。
  • 拆分:拆成两个数的和或差。
  • 有 7、11、13 等数的口诀,但不适合公务员考试,数量关系的数非常小,用拆分即可。如 623=630-7,进行判定。

余数型:

  • 若 y=ax+b,则 y-b 能被 a 整除;若 y=ax-b,则 y+b 能被 a 整除。
  • 前提:a、x 均为整数。

比例型:

  • 若 A/B=m/n,则:

    • A 是 m 的倍数,B 是 n 的倍数。
    • A±B 是 m±n 的倍数。
  • 前提:A、B 均为整数,m/n 是最简整数比。
  • 如男/女=3/5,则男是 3 的倍数,女是 5 的倍数,男+女是 8 的倍数,女-男是 2 的倍数。

余数问题三种延伸考法

余数问题可以代入排除,但如果没有总数,则不能代入。

口诀:余同取余,和同加和,差同减差,公倍数做周期。

解释:

余同取余,例如“一个数除以 7 余 1,除以 6 余 1,除以 5 余 1”,可见,所得余数恒为 1,5、6、7 的公倍数为 210,公倍数作周期,要想都余 1,则 取 1,被除数的表达式为 210n+1。

和同加和,例如“一个数除以 7 余 1,除以 6 余 2,除以 5 余 3”,可见,余数不同,除数与余数的和相同(7+1=6+2=5+3=8),公倍数 210 作周期,取此和 8,被除数的表达式为 210n+8。

差同减差,例如“一个数除以 7 余 3,除以 6 余 2,除以 5 余 1”,可见,余数不同、和不同,但除数与余数的差相同,除以 7 余 3,代表缺 4;除以6 余 2,代表缺 4;除以 5 余 1,代表缺 4。取此差 4,公倍数 210 作周期,要差4,则从总数中减去4,被除数的表达式为 210n-4。

特别注意的是,前面的 210 是 5、6、7 的最小公倍数,此即为公倍数做周期。

方程法

普通方程:设 x。

  • 设小不设大(避免分数)。
  • 设中间量(方便列式)。
  • 求谁设谁(避免陷阱)。
  • 出现比例:设份数。

不定方程:代入排除。

  • 奇偶特性:系数一奇一偶。
  • 倍数特性:系数与常数有公因子。
  • 尾数特性:系数尾数为 0 或 5。
  • 直接代入选项。

不定方程组

  • 未知数一定是整数:消元。
  • 未知数不一定是整数:具有无限解,特值法(一般赋 0)。

工程问题

抓住问题,根据题干判定具体题型,确定方法。计算能约分就约分。

给完工时间型

  • 先赋总量(公倍数)。
  • 再算效率=总量/时间。
  • 根据工作过程列方程。

给效率比例型

  • 先赋效率(满足比例即可)。
  • 再算总量=效率*时间。
  • 根据工作过程列方程。

给具体单位型:设未知数,找等量关系列方程。

牛吃草类型:

  • 题型判定:排比句;有增长、有消耗。
  • 核心公式:Y=(N-X)*T。

同时开工同时结束

题型特征:多个人完成多项工作,有一个人打游击(帮工)。

解题套路:

  • 整体分析:先求出总的完工时间,完工时间=工作总量/效率和。同时开始同时结束,说明每人的工作时间相同,先求出每人的完工时间。
  • 抓住问题。如一家三兄弟,老三还在上学,大哥给生活费,二哥给学费,老三放暑假回家帮大哥和二哥干活,工作时间=工作总量/三人工作效率。

经济利润问题

基础经济

  • 利润=售价-进价。
  • 利润率=利润/进价。
  • 折扣=折后价/折前价。
  • 总价=单价*个数。

方程法、赋值法。

分段计费:

  • 题型:水电费、出租车费、税费。
  • 方法:分段计费、汇总求和。

函数最值

  • 识别:
  • 单价和销量此消彼长。
  • 求最大利润或售价。

方法:两点式。

行程问题

应用环境即题干中的重点字眼,相遇、追及、多次相遇、流水行船等。

普通行程

  • 路程=速度_时间(S=V_T)。
  • 火车过桥:路程=车长+桥长。
  • 平均速度:

    • 总路程/总时间。
    • 等距离平均速度=2V1V2/(V1+V2)。

相对行程

  • 相遇、追及:

    • 相遇:S 和=V 和*T 遇。
    • 追及:S 差=V 差*T 追。
  • 多次运动:

    • 线形两端出发第 n 次相遇:(2n-1)_S=V 和_Tn。
    • 环形第 n 次相遇:n 圈=V 和*T 遇。
    • 环形第 n 次追及:n 圈=V 差*T 追。
  • 顺水、逆水:

    • 顺水:S=(V 船+V 水)*T 顺。
    • 逆水:S=(V 船-V 水)*T 逆。

比例行程

不好列式、不好解,存在定量的时候应用。可以把 S 一定和 T一定的题目找出来放在一起去总结规律。

  • S 一定,V、T 成反比。常考。
  • V 一定,S、T 成正比。不常考。
  • T 一定,S、V 成正比。常考。

相遇追及公式集锦

相遇本质公式:S 和=V 和 t。

  • 直线相遇:S 和=V 和 t。
  • 环形相遇:n 圈=S 和=V 和 t。
  • 直线两段出发多次相遇:(2n-1)S=S 和=V 和 t。
  • 直线两端出发多次相遇:2nS=S 和=V 和 t。

多次相遇,一定要看清是两端出发还是同端出发。

追及本质公式:S 差=V 差 t。

  • 直线追及:S 差=V 差 t。
  • n 圈=S 差=V 差 t。

几何问题

几何问题知识点比较零散,所有公式要足够熟悉。

公式运用

  • 规则图形直接用公式。
  • 不规则图形转化为规则图形再用公式。

三角形相关

  • 基础知识:两边之和大于第三边,两边之差小于第三边。
  • 勾股定理
  • 底(高)相同的三角形,面积之比等于高(底)之比。
  • 相似三角形,对应边之比等于相似比,面积比等于相似比的平方。

排列组合与概率

难点为用 A 还是 C。

排列组合:

概念:

  • 分类用加法(要么„„要么„„)。
  • 分步用乘法(既„„又„„)。
  • 有序用排列(不可互换)。

题型:根据字眼判定用什么方法。

  • 情况数少:枚举法,不重不漏,按序枚举。
  • 必须相邻:捆绑法,先捆再排。
  • 不能相邻:插空法,先排再插。
  • 环形排列:n 个主体环形排列有(n-1)!种可能。

概率

给情况求概率:满足要求的情况数/总情况数。

给概率求概率:分类用加法,分步用乘法。

正难反易:1-反面情况概率。

给情况求概率

公式:概率=满足要求的情况数/总情况数。

分子表示考官的要求,更为难做。分母好求,先求总情况数,分数存在约分形式,如计算出分母为 60,选项为 A.x/17、B.x/13、C.x/15、D.x/11, 因 60 不能约分为 17、13、11,则答案只能为 C 项。

给概率求概率

  • 分类用加法:P=P1+P2+„„+Pn。
  • 分步用乘法:P=P1_P2_„„*Pn。

逆向思维

正难反易,P=1-反面情况概率。

容斥原理

公式:

  • 两集合:A+B-A∩B=总数-都不。
  • 三集合:

    • 标准:A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总数-都不。
    • 非标准:A+B+C-满足两项-满足三项*2=总数-都不。
    • 常识:满足一项+满足两项+满足三项=总数-都不。

画图:出现只 A、只 B、只 C 等表述,优先考虑画图。

  • 画圈圈,标数据。
  • 从里到外,注意去重。

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